Fractales

Le mot "fractale" vient de l'adjectif latin fractus qui signifie irrégulier ou brisé.
Un objet fractal possède au moins l'une des trois caractéristiques suivantes :

 Il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes; 
Il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels;
 Il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. 

Ce que j'aime avec les fractales, c'est qu'elles produisent des images qui dépassent l'imagination. Des figures inouïes où, comme dans la vie, l'ordre et le chaos co-existent. Les fractales sont à l'image de la création. 

 A partir d'une formule élémentaire réitérée un nombre immense de fois, on obtient un résultat à la fois déterministe et chaotique.  Par cette faculté à générer des formes inimaginables, les fractales apportent une explication aux torrents de visions géométriques ou organiques que l'on peut avoir avec la prise de drogues psychédéliques. L'hyper-espace cher aux psychonautes pourrait n'être qu'une visualisation faite de géométries hyperboliques et de constructions fractales rendues possible par la modification de notre état de conscience. 

En tout cas les fractales me semblent être des tests de Rohrschach, tout le monde peut y voir quelque chose de différent, comme les taches d'encre.

Les fractales : dans la nature et dans les mathématiques

Les suites mathématiques modélisent de nombreux phénomènes de « croissance sous contrainte », comme , par exemple l'évolution d'une population de bactéries avec un quota de nourriture donné : La population croit, consomme la nourriture, puis décroit et finalement se stabilise, ou pas, autour d'une ou plusieurs valeurs.  

En géométrie euclidienne, les dimensions données sont exclusivement entières. Un tronc d'arbre ressemble à un cylindre, une orange à une sphère. Mais la géométrie Euclidienne trouve ses limites quand on essaye de définir des formes plus complexes comme des montagnes, des nuages, ou même des choux-fleurs. Et c'est là que la géométrie fractale intervient. 

Les géométries fractales sont omniprésentes dans la nature et même dans l'Univers.

On peut les modéliser avec des équations récursives qui sont de la forme : Xn+1 = rXn ( 1-Xn). 

En mathématiques, l'ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite de nombres complexes définie par récurrence ci dessous est bornée (ne tend pas vers l'infini) :

En noir, l'ensemble des valeurs de z  pour lesquelles  converge.

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\end{cases}}}$

Plus d'explications : http://www.blog.francis-leguen.com/fractales-feigenbaum-pour-les-nuls/

Représentation graphique des fractales

Pour les fractales 2D il suffit de faire une itération pour chaque pixel de l’image. Si le point s’éloigne de l’origine il sera en dehors de l’ensemble et il reste à décider quelle couleur on donnera à ce pixel. On pourrait simplement colorer tous les pixels « en dehors » en blanc et les pixels « dedans » en noir, mais il y a beaucoup d’autres méthodes. On déclare un pixel comme « en dehors » si son module devient plus grand qu’un nombre qu’on a choisi à l’avance. Les méthodes pour colorer les pixels sont souvent basées sur un nombre d’itérations donné avant que le module ne devienne assez grand pour être déclaré « en dehors ».
Pour représenter un objet 3D, on doit penser à l’image comme un plan de projection. On choisit alors un point de vue virtuel et on tire des rayons de ce point de vue vers chaque point du plan de projection, donc vers chaque pixel de l’image. Pour chaque rayon, il faudra découvrir si le rayon rencontre l’objet fractal et, si oui, à quel endroit sur le rayon.

Pour comprendre tout ça, le mieux ici, est de lire l'article suivant : http://images.math.cnrs.fr/Mandelbulb.html

Et finalement, voici quelques unes de mes découvertes faites à l'aide du logiciel Mandelbulb3D (et apophysis aussi) .

Ozias

https://complexe.jimdofree.com/les-fractales/d%C3%A9finition/reportages/

https://jeanbaptistehardy.info/fractals-architecture-french/

Mandelbulb : https://fractal.institute/create-fractals/the-mandelbulb-3d-master-training-resource-guide/

https://aeon.co/videos/check-in-to-the-hilbert-hotel-and-learn-why-some-infinities-are-bigger-than-others

Film animation fractales : 

Articles connexes dans ce blog :

https://emagicworkshop.blogspot.com/2018/11/arabesques.html

https://emagicworkshop.blogspot.com/2019/05/que-voit-on-dmt.html